Математика-ВАВ ...

Відомо, що через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести єдину площину. Отримаємо рівняння такої площини, що проходить через точки

$M_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,\,M_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\,\,M_3(x_3,\,y_3,\,z_3$.

Оскільки шукана площина проходить через точку $M_1$, її рівняння може бути записане у вигляді

$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$, (1)

де $A,\,B,\, C$ - координати поки що невідомого нам нормального вектора.

Але наша площина проходить і через точку $M_2$, тоді координати цієї точки повинні задовільняти написаному рівнянню площини. Тобто виконується рівність.

$A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)+C(z_2-z_1)=0$, (2)

Зрозуміло, що точка $M_3$ теж лежить на площині, і її координати теж задовільняють її рівнянню

$A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)+C(z_3-z_1)=0$, (3)

Ми маємо три рівняння, що містять три невідомих параметри - координати нормального вектора шуканої площини, причому всі три рівняння є лінійними відносно невідомих $A,\,B,\, C$. Об'єднаємо рівняння в систему, яка виявляеться лінійною однорідною системою з числом невідомих, співпадаючим з числом рівнянь.

${\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}A(x-x_1)+\,B(y-y_1)+\,C(z-z_1)\,&=&0\\A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)+C(z_2-z_1)&=&0\\A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)+C(z_3-z_1)&=&0 \end{array}\right.}$

З цієї системи нас цікавлять невідомі координати $A,\,B,\, C$ нормального вектора шуканої площини. Зрозуміло, що за змістом, нормальний вектор ненульовий, тому нас цікавить нетривіальний розв'язок однорідної системи.

Однорідна система має нетривіальний розв'язок коли її визначник дорівнює нулю. В нашому віпадку маємо

${ \left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{array}\right|=0}.$

Виявляеться остання рівність і є рівняння площини, що проходить через задані точки.

Дійсно, уявивши, що визначник розкривається за першим рядком, можна помітити, що ми отримаємо лінійне відносно змінних $x,\,y,\,z$ рівняння, що, очевидно, є рівнянням якоїсь площини. З іншого боку, підстановка замість $x,\,y,\,z$ в визначник координат заданих трьох точок, перетворює визначник в нульовий, тобто всі три точки лежать на цій площині, що і потрібно.

Приклад.

Написати рівняння площини, що проходить через точки

$M_1(1,\,0,\,2),\,\,M_2(2,\,-1,\,0),\,\,M_3(1,\,3,\,1)$.

Розв'язання.

Скористаємось рівнянням площини, що проходить через три точки, побудувавши і прирівнявши до нуля визначник.

${ \left|\begin{array}{ccc}x-1&y-0&z-2\\2-1&-1-0&0-2\\ 1-1&3-0&1-2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x-1&y&z-2\\1&-1&-2\\ 0&3&-1 \end{array}\right|=7(x-1)-(-y)+3(z-2)=7x+y+3z-13=0}.$

Відповідь.

$7x+y+3z-13=0.$