Математика-ВАВ ...

Для заданих прямої і площини в просторі необхідно з'ясувати, чи вони перетинаються, і, якщо перетинаються, то в якій точці і під яким кутом.

Нехай площина задана загальним рівнянням $Ax+By+Cz+D=0$, а пряма - канонічними рівняннями $\large{\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}}$.

Спочатку визначимось з кутом між ними. Припустимо, пряма і площина перетинаються в точці $M_1(x_1,y_1,z_1)$. Кут між ними є кут між прямою та її проекцією на площину. Позначимо його $\varphi$ і виразимо через коєфіціїнти площини і прямої.

Для цього проведемо нормальний вектор з точки перетину прямої і площини. Очевидно, що кут між цим нормальним вектором і прямою доповнює шуканий кут до $\frac{\pi}{2}$, тобто він дорівнює $\frac{\pi}{2}-\varphi$. З іншого боку його можна вважати кутом між нормальним вектором площини і напрямлюючим вектором прямої і його величину можна знайти за формулою з векторної алгебри.

$\cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)=\frac{Aa_x+Ba_y+Ca_z}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$

Залишилось використати формулу зведення і отримуємо формулу кута між прямою і площиною

$\sin(\varphi)=\frac{Aa_x+Ba_y+Ca_z}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$

Зокрема, умова паралельності прямої і площини є умова перпендикулярності нормального вектора площини і напрямлюючого вектора прямої, тобто рівність нулю їх скалярного добутку.

$Aa_x+Ba_y+Ca_z=0$

У випадку перпендикулярності прямої і площини, напрямлюючий вектор прямої буде колінеарним нормальному вектору площини, тобто умовою перпендикулявності прямої і площини є умова пропорційності координат цих векторів.

$\large{\frac{A}{a_x}=\frac{B}{a_y}=\frac{C}{a_z}}$

Для завершення дослідження взаємного розташування прямої і площини, з'ясуємо, як можна знайти точку їх перетину. Взагалі кажучи, координати точки перетину знаходяться в результаті розв'язання системи рівнянь, ксладеної з рівнянь площини і прямої. Зазначимо, що найпростіше розв'язок знаходиться, якщо попередньо привести рівняння прямої до параметричного виду.

Приклад.

Знайти точку перетину прямої

$\large{\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{3}}$

з площиною

$x-2y+z+1=0$

Розв'язаня.

Зведемо задані канонічні рівняння прямої до параметричних. Маємо

${\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}x&=&1+2t\\y&=&2+t\\z&=&-1+3t \end{array}\right.}$

Підставимо отримані вирази для змінних $x,\,y,\,z$ в рівняння площини

$1+2t-2(2+t)+(-1+3t)+1=0$

і розв'яжемо отримане рівняння відносно параметра $t$.

$3t-3=0$

$t=1$

Підставимо знайдене значення параметра в парамертричні рівняння і отримаємо координати точки перетину.

$x=3,\,y=3,\,z=2$.