6.1. Площина, що проходить через точку нормально вектору.

Нехай у тривімірному просторі задана точка M0(x0,y0,z0) і вектор ¯N=(A,B,C).Треба записати рівняння площини, що проходить через задану точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно заданому вектору ¯N

Вибекремо на площині довільну (поточну) точку M(x,y,z), відмінну від M0 і розглянемо вектор ¯M0M. Яка б не була точка M, оскільки вона лежитьв площині, вектор ¯M0M буде перпендикулярним вектору ¯N, який за умовою перпендикулярний площині, значить перпендикулярній будь-якому вектору, що в цій площині лежить.

З векторної алгебри відомо, що перпенликулярність двох ненульових векторів еквівалентна рівності до нуля їх скалярного добутку.

За умовою, координати вектора ¯N є (A,B,C), а вектор ¯M0M своїми проекціями має різниці координат точок M і M0

¯M0M=(xx0,yy0,zz0)

Знайдемо скалярний добуток цих векторів і прирівняємо його до нуля.

¯N¯M0M=A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

Остання рівність

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

і являє собою рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.

Вектор ¯N, перпендикулярний площині називається нормальним вектором цієї площини.

normVector

Приклад

Написати рівняння площини, що проходить через точку M(1,11) перпендикулярно вектору ¯N=(2,1,3).

Розв'язання.

Використовуючи отримане вище рівняння можемо зразу записати шукане рівняння площини:

2(x1)(y1)+3(z1)=0,

Розкриваючи дужки можемо отримати більш звичний вигляд рівняння площини

2xy+3z4=0,

Остання зміна: Wednesday 14 September 2016 09:26 AM