6.1. Площина, що проходить через точку нормально вектору.
Нехай у тривімірному просторі задана точка M0(x0,y0,z0) і вектор ¯N=(A,B,C).Треба записати рівняння площини, що проходить через задану точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно заданому вектору ¯N Вибекремо на площині довільну (поточну) точку M(x,y,z), відмінну від M0 і розглянемо вектор ¯M0M. Яка б не була точка M, оскільки вона лежитьв площині, вектор ¯M0M буде перпендикулярним вектору ¯N, який за умовою перпендикулярний площині, значить перпендикулярній будь-якому вектору, що в цій площині лежить. З векторної алгебри відомо, що перпенликулярність двох ненульових векторів еквівалентна рівності до нуля їх скалярного добутку. За умовою, координати вектора ¯N є (A,B,C), а вектор ¯M0M своїми проекціями має різниці координат точок M і M0 ¯M0M=(x−x0,y−y0,z−z0) Знайдемо скалярний добуток цих векторів і прирівняємо його до нуля. ¯N⋅¯M0M=A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 Остання рівність A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 і являє собою рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Вектор ¯N, перпендикулярний площині називається нормальним вектором цієї площини. |
![]() |
Приклад
Написати рівняння площини, що проходить через точку M(1,11) перпендикулярно вектору ¯N=(2,−1,3).
Розв'язання.
Використовуючи отримане вище рівняння можемо зразу записати шукане рівняння площини:
2(x−1)−(y−1)+3(z−1)=0,
Розкриваючи дужки можемо отримати більш звичний вигляд рівняння площини
2x−y+3z−4=0,