Математика-ВАВ ...

Крім канонічних та загального рівняння прямої в просторі іноді зручно користуватись параметричними або векторним рівнянням, з якими ми зараз і познайомимося.

Нехай маємо канонічні рівняння прямої

$\large{\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}}$,

що проходить через точку $M_0(x_0,\,y_0,\,z_0)$ з напрямлюючим вектором $\overline{a} = (a_x,\,a_y,\,a_z)$.

Рівняння являють собою рівності між трьома відношеннями. Якщо обрати довільну точку $M(x,\,y,\,z)$ на прямій і підставити в рівняння її координати замість змінних, кожне з відношень прийме певне значення, причому, виходячи з рівняння, всі ці значення будуть співпадати між собою. Позначими спільне значення всіх трьох дробів через $t$. Маємо

$\large{\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}= t}$.

Останній вираз еквівалентий трьом рівнянням.

$\frac{x-x_0}{a_x}=t$

$\frac{y-y_0}{a_y}=t$

$\frac{z-z_0}{a_z}=t$

Або, після певних перетворень, приходимо до параметричних рівнянь прямої

${\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}x&=&x_0+a_xt\\y&=&y_0+a_yt\\z&=&z_0+a_zt \end{array}\right.}$ (1)

де $t\, \in(-\infty,+\infty)$ - параметр.

Кожній точці прямої відповідає певне значення параметра, і навпаки, кожне значення параметра однозначно визначає певну точку прямої. Так, значенню $t=0$ відповідає точка $M_0(x_0,\,y_0,\,z_0)$.

Щоб отримати векторне рівняння, розглянемо три вектори:

$\overline{r_0}$ - радіус-вектор точки $M_0$;

$\overline{r}$ - радіус-вектор поточної точки $M$;

і вектор $\overline{M_0M}$

Координати радіус-векторів точок співпадають з координатами цих точок, тому можна написати $\overline{r_0}=(x_0,\,y_0,\,z_0)$ і $\overline{r}=(x,\,y,\,z)$. Вектор же $\overline{M_0M}$ колінеарний напрямлюючому вектору $\overline{a} = (a_x,\,a_y,\,a_z)$, тоді

$\large{\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{5}}$.