4.3. Розкладання вектора за базисом
Розкладання вектора за базисом
Задача векторної алгебри полягає в тому, щоб звести операції з геометричним об'єктом - вектором до алгебраїчних операцій. Введемо прямокутну систему координат в просторі. Вона визначається заданням одиниці виміру довжин і трьох взаємно перпендикулярних вісей, що перетинаються в одній точці : - вісь абсцис, - вісь ординат, - вісь аплікат. Введемо три вектори одиничної довжини, напрямок яких співпадає з додатнім напрямком вісей. Кожний з таких векторів називається ортом, а їх трійка - базисом. Візьмемо довільний вектор , перенесемо його початок в початок координат (в точку ) і позначимо його кінцеву точку через Проведемо через точку три площини, перпендикулярні координатним вісям і Відстані від початку координат до точок перетину площин з вісями координат позначимо через Ці числа і є прямокутні координати точки ![\:A.\: \:A.\:](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/357df6fefbd494938b1060d482561701.gif)
Очевидно, що за правилом додавання векторів:
або в скороченій формі:
Таким чином, будь-який вектор в просторі визначається заданням трьох чисел , що називаються координатами вектора а запис (1) є розкладенням вектора за базисом ![\:\overline \imath,\,\overline \jmath,\,\overline k.\: \:\overline \imath,\,\overline \jmath,\,\overline k.\:](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/f75805b388d0d95a68cb3e64008185b5.gif) |
Представлення (1) дозволяє легко отримати важливі формули:
для довжини вектора -
і для напрямлюючих косинусів - ![\:{\cos\gamma=\frac{a_z}{|\overline a|}.} \:{\cos\gamma=\frac{a_z}{|\overline a|}.}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/d33d8a616b06339cfc91935b129576ba.gif) |
Зауваження
Якщо вектор заданий координатами початкової і кінцевої точок то координати вектора знаходяться за формулою
|
Modifié le: Monday 12 September 2016, 22:51