6.6. Канонічні рівняння прямої в просторі. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
До лінійних об'єктів в тривімірному просторі, крім площини, відноситься і пряма. Як і площина, пряма в просторі однозначно визначається заданням точки і вектора.Точки, через яку пряма проходить, і вектора, що задає напрямок прямої. Оскільки вектор може вільно переміщуватись, можна вважати, що вектор лежить на прямій або він їх колінеарний. Такий вектор називається напрямлюючим вектором прямої.
Отримаємо рівняння прямої в просторі, що проходить через задану точку в напряку, що задається вектором
.
Візьмемо на прямій поточну точку і розглянемо вектор
. Яка б не була точка
, оскільки вона, разом з точкою
, лежить на прямій, вектор
буде теж лежати на прямій. А це означає, що для будь-якої точки
вектор
буде колінеарним вектору
.
Використовуючи умову колінеарності векторів отримаємо рівняння
які називаються канонічними рівняннями прямої в просторі.
Зауважимо, що вираз канонічні рівняння використовується в множині, оскільки наведене співвідношення містить два рівняння, що задають зв'язок між трьома змінними.
Наведемо найважливіший випадок використання канонічних рівнянь, а саме, отримаємо рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки.
Нехай маємо точки і
і потрібно написати рівняння прямої, що проходить через ці точки.
Оскільки точка лежить на прямій, рівняння шуканої прямої можна записати у вигляді
де напрямлюючий вектор прямої. Оскільки і точка
лежить на прямій, вектор
буде теж лежати на нашій прямій. Це означає, що його можна прийняти за напрямлюючий вектор прямої. Знайдемо його координати, як різниці відповідних координат точок кінця і початку, після чого підставимо їх в рівняння (1). Маємо:
Тоді
Останні рівняння і являють собою канонічні рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
Зауваження.
Канонічні рівняння являють собою лише формальний запис, що характеризує перну пряму в просторі. Тому припустимо ставити навітть нуль в знаменнику дробу, що входить в рівняння. Так рівняння
описує пряму, що проходить через точку (3,1,2) і лежить в площині , тобто паралельну площині
.