6.7. Параметричні та векторне рівняння прямої.
Крім канонічних та загального рівняння прямої в просторі іноді зручно користуватись параметричними або векторним рівнянням, з якими ми зараз і познайомимося.
Нехай маємо канонічні рівняння прямої
що проходить через точку з напрямлюючим вектором
.
Рівняння являють собою рівності між трьома відношеннями. Якщо обрати довільну точку на прямій і підставити в рівняння її координати замість змінних, кожне з відношень прийме певне значення, причому, виходячи з рівняння, всі ці значення будуть співпадати між собою. Позначими спільне значення всіх трьох дробів через
. Маємо
Останній вираз еквівалентий трьом рівнянням.
Або, після певних перетворень, приходимо до параметричних рівнянь прямої
Кожній точці прямої відповідає певне значення параметра, і навпаки, кожне значення параметра однозначно визначає певну точку прямої. Так, значенню відповідає точка
.
Щоб отримати векторне рівняння, розглянемо три вектори:
- радіус-вектор поточної точки
;
Координати радіус-векторів точок співпадають з координатами цих точок, тому можна написати і
. Вектор же
колінеарний напрямлюючому вектору
, тоді