Математика-ВАВ ...

Нехай потрібно знайти відстань від заданої точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ до площини, що задана загальним рівнянням $Ax+By+Cz+D=0$. Позначимо цю шукану відстань через $d$.

З рівняння площини одразу знаходяться координати нормалного вектора цієї площини $\overline{N}=(A,B,C)$.

Тепер візьмемо на площині довільну точку $M(x,y,z)$ і побудуємо вектор $\overline{MM_0}=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$.Користуючись вільним переміщенням вектора в просторі, будемо вважати, що нормальний вектор має початок в точці $M(x,y,z)$. Тоді можна побачити, що шукана відстань від точки до площини дорвнює довжині проекції вектора $\overline{MM_0}$ на вектор $\overline{N}$.

Використовуючи формулу проекції вектора на вісь, маємо

$d=\left|\frac{\overline{N}\cdot\overline{MM_0}}{|\overline{N}|}\right|=\frac{|A(x_0-x)+B(y_0-y)+C(z_0-z)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+(-Ax-By-Cz)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Повернувшись до заданого рівняння площини, можна побачити, що остання дужка в чисельнику дорівнює $D$, тоді приходимо до формули для відстані

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.