Математика-ВАВ ...

Означення 1.
Число $A$ називається границею функції $y=f(x)$ в точці $x_0$, якщо для будь-якого, скіль завгодно малого, додатнього $\varepsilon$ знайдеться таке $\delta\gt 0$, що для всіх $x$ таких, що $|x-x_0|\lt \delta$, виконується нерівність $|f(x)-A|\lt \varepsilon$
Границя функції позначаеться так:

З використанням кванторів це означення можна записати так:
$\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta>0\,\forall x \,|x-x_0|\lt\delta\,:\, |f(x)-A|\lt\varepsilon$

Це означення на мові "$\varepsilon\,-\,\delta$" належить французському математику початку XIX століття Коші. Приведемо і інші, можливо, наглядніші означення границі функції, еквівалентні наведеному.

Означення 2 (на мові околів).
Позначимо через $U_\delta(x_0)\,=\,(x_0-\delta,\,x_0+\delta)$ - $\delta$-окіл точки $x_0$, а $V_\varepsilon(A)\,=\,(A-\varepsilon,\,A+\varepsilon)$ - $\varepsilon$-окіл точки $A$.
Число $A$ називається границею функції $y=f(x)$ в точці $x_0$, якщо для будь-якого околу $V_\varepsilon(A)$ точки $A$ знайдеться такий окіл $U_\delta(x_0)$ точки $x_0$, що як тільки $x \in U_\delta(x_0)$ так $f(x) \in V_\varepsilon(A)$.

Означення 3. (на мові послідовностей).
Число $A$ називається границею функції $y=f(x)$ в точці $x_0$, якщо для будь-якої послідовності $\{x_n\}$, що збігається до $x_0$, послідовність відповідних значень функції $\{f(x_n)\}$ збігається до $A$.
$\forall \{x_n\} \to x_0 :\,\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)\,=\,A$

В цьому означенні важливо, щоб послідовність значень функції прямувала до $A$ для будь-якої послідовності, що збігається до $x_0$.

Зазначимо ще, що в кожному з означень функція не обов’язково повинна бути визначеною в самій точці $x_0$, а лише в деякому її околі.

В деяких випадках функція в в певній точці $x_0$ не має границі в сенсі наведених выще означень, але, при прямуванні $x$ до $x_0$ зліва та/або зправа відповідні значення функції прямують до цілком визначеного числа.
В цьому випадку кажуть про односторонні границі функції.

Означення 4.
Число $A$ називається границею функції $y=f(x)$ в точці $x_0$ зліва або лівосторонею границею, якщо для будь-якого, скіль завгодно малого, додатнього $\varepsilon$ знайдеться таке $\delta\gt 0$, що для всіх $x$ таких, що $x_0\,-\,\delta \lt x \lt x_0$, виконується нерівність $|f(x)-A|\lt \varepsilon$
Границя зліва функції позначається так:

Теорема.
Для того щоб функція $f(x)$ мала границю в точці $x_0$ необхідно і достатньо, щоб в цій точці вона мала обидві односторонні границі і вони були рівні між собою.

Означення 5.
Число $A$ називається границею функції $y=f(x)$ при $x \to +\infty$ , якщо для будь-якого, скіль завгодно малого, додатнього $\varepsilon$ знайдеться таке $M$, що для всіх $x \gt M$ виконується нерівність $|f(x)-A|\lt \varepsilon$
Пишемо:

В кванторах: $\forall \varepsilon \, \exists M \,\forall x \gt M : |f(x)-A| \lt \varepsilon$

Аналогічно,
число $A$ називається границею функції $y=f(x)$ при $x \to -\infty$ , якщо для будь-якого, скіль завгодно малого, додатнього $\varepsilon$ знайдеться таке $L$, що для всіх $x \lt L$ виконується нерівність $|f(x)-A|\lt \varepsilon$

Означення 6.
Нехай функція $y=f(x)$ необмежено зростає в лівосторонньому околі точки $x_0$. Кажуть, що функція прямує до $+\infty$, коли $x \to x_0-0$

якщо для будь-якого, скіль завгодно великого числа $M$ знайдеться таке $\delta\gt 0$, що для всіх $x$ таких, що $x_0\,-\,\delta \lt x \lt x_0$, виконується нерівність $f(x) \gt M$.
В кванторах: $\forall M \, \exists \delta \gt 0 \forall x \in (x_0-\delta,\,x_0): f(x) \gt M$

Аналогічно,
$\lim\limits_{x \to x_0-0}f(x)=-\infty$
якщо $\forall L \, \exists \delta \gt 0 \forall x \in (x_0-\delta,\,x_0): f(x) \lt L$

Так же означаються правосторонні нескінченні границі в точці. Наприклад, для $+\infty$ зправа маємо
$\lim\limits_{x \to x_0+0}f(x)=+\infty$
якщо $\forall M \, \exists \delta \gt 0 \forall x \in (x_0+\delta,\,x_0): f(x) \gt M$

Часто в одній і тій же точці нескінченні границі зправа і зліва мають різні знаки, і, оскільки плюс нескінченність і мінус нескінченність відрізняються суттєво, дослідження необмежених в точці функцій треба проводити і зправа, і зліва. Якщо, при цьому знак нескінченості однаковий, можна писати просто
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=+\infty$
.