7.6.Приклади обчислення границь послідовностей

Приклад 1.
Обчислити границю.
\lim_{n \to \infty}(n^2+5-\frac{1}{n^2})

Розв’язання.
Разкладемо границю на сумму границь і обчислимо кожну з отриманих границь окремо.

\lim_{n \to \infty}(n^2+5-\frac{1}{n^2})=\lim_{n \to \infty}n^2+\lim_{n \to \infty}5-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=\infty+5-0=\infty

Відповідь.
Послідовність не має границі, оскільки необмежена.

Приклад 2.
Обчислити границю.
\lim_{n \to \infty}\frac{8}{n^3+n-1}

Розв’язання.
Оскільки в знаменнику стоїть необмежено зростаюча послідовність, задана границя доравнює 0.

Відповідь.
\lim_{n \to \infty}\frac{8}{n^3+n-1}=0.

Приклад 3.
Обчислити границю.
\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2}

Розв’язання.
Неважко бачити, що і чисельник і знаменник дробу прямують до нескінченності, тому в цьому випадку ми не можемо записати границю частки, як частку границь чисельника і знаменника. Для обчислення подібних границь застосовується прийом, що полягає в діленні чисельника і знаменника границі на спільний старший степінь, або на менший з їх старших степенів, якщо вони різні.
В нашому прикладі, розділивши на n^2, маємо
\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}+\frac{5}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac {2}{n^2}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{7}{n}+\frac{5}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}=

Тепер видно, що і чисельник і знаменник прямують до одиниці і ми можемо обчислити границю дробу як відношення границь чисельника і знаменника.
Остаточно, отримаємо

=\lim_{n \to \infty}\frac{1+0+0}{1-0}=\frac{1}{1}=1

Відповідь.
\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2}=1.

Приклад 4.
Обчислити границю.
\lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1}

Розв’язання.
Степінь чисельника 3, а степінь знаменника 5, тому ділимо чисельник і знаменник на n^3
Отримаємо
\lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{8n^3}{n^3}-\frac{5n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{3n^5}{n^3}-\ frac{2n^3}{n^3}-\frac{1}{n^3}}=\lim_{n \to \infty}\frac{8-\frac{5}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{3n^2-2-\frac{1}{n^3}}

Границя чисельника дорівнює 8, але знаменник залишається необмеженим і прямує до нескінченності. Це означає, що дріб прямує до нулю.
Остаточно, отримаємо

=\lim_{n \to \infty}\frac{8-0+0}{3n^2-2-0}=0

Відповідь.
\lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1}=0.

Приклад 5.
Обчислити границю.
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}}

Розв’язання.
Визначаємо старший степінь. Враховуючи, що корінь можна представити у формі дробового показника степеня, приходими висновку, що степінь чисельника дорівнює \small{\frac{3}{2}}. Такий же і степінь знаменника.
Розділимо чисельник і знаменник дробу на n^{3/2}, враховуючи, що при внесенні виразу під корінь, воно підноситься до відповідного степеня, в нашому випадку - в квадрат.
Отримаємо
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{n^{3/2}}}{\frac{2-n\sqrt{n}}{n^{3/2}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{\frac{9n^3}{n^3}-\frac{4n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3}}}{\frac{2}{n^ {3/2}}-\frac{n\sqrt{n}}{{n^{3/2}}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9-\frac{4}{n}+\frac{7}{n^3}}}{\frac{2}{n^{3/2}}-1}=\frac{\sqrt{9-0+0}}{0-1}=3

Відповідь.
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}}=3.
Modifié le: Monday 19 September 2016, 14:29