7.3 Означення послідовності. Обмежені послідовності

Знайомство з поняттями математичного анализу почнемо з числових послідовностей.

Означення 1.
Послідовністю дійсних чисел, або просто послідовністю називається впорядкована нескінечена множіни дійсних чисел, елементи якої занумеровані натуральними числами.

Послідовність позначається \;\{x_n\}=\{x_1,\;x_2\;\dots\;x_n,\dots\}

Числа \;x_n називаються елементами послідовності.

Занумеровані - означає, що кожному елементу послідовності поставлено у відповідність певне натуральне число, і, навпаки, кожному натуральному числу відповідає певний едемент послідовності. Таким чиномо, існує взаємно-однозначна вілповідність між множиною елементів послідовності і множиною натуральних чисел.

Можна сказати, що послідовність - це зліченна впорядкована множина дійсних чисел.

Приклади послідовностей

1. \{n^2\}=\{1,\;4,\;9,\;16,\;\dots,\; n^2,\;\dots\} послідовність квадратів натуральних чисел.
x_n\;=\; n^2

2. \{\frac{1}{n}\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\} - елементи послідовності є числа, обернені своєму номеру: \;x_n\;=\;\frac{1}{n}.

3. \{c\}=\{c,\;c,\;\dots,\;c,\;\dots\} - стала послідовність: всі елементи дорівнюють одному і тому ж числу c.

Приклад ілюструє, що різні елементи послідовності можуть мати однакові значення.

Так, третій и п'ятий елементи послідовності \{1,-2,4,-3,4,6,\dots\} дорівнюють одному і тому ж числу
x_3\;=4 і x_5\;=4,
але вони залишаються різними елементами послідовності, оскільки відрізняються номером.

4. \{\;(\;-\;1\;)^n \} =\{-1,\;1,\;-1\;1\;\dots,\;(\;-\;1\;)^n,\dots\} - двоточкова послідовність, елементи якої по черзі приймають два значения 1 і -1.

Означення 2.
Послідовність \{\;x_n\;\} називається обмеженою зверху, якщо існує таке число M, що всі елементи послідовності будуть менші цього числа x_n\; \lt M.
Або, використовуючи квантори, \{\;x_n\;\} обмежена зверху, якщо \exists M \; \forall n : \; x_n\;\lt\;M.
Аналогічно, послідовність \{\;x_n\;\} називається обмеженою знизу, якщо існує таке число L, що всі елементи послідовності будуть більші цього числа x_n\; \gt L.
\exists L \; \forall n : \; x_n\;\gt\;L.
Послідовність \{\;x_n\;\} називається обмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху.
Часто обмеженість послідовності означають за допомогою модулю.
Послідовність \{\;x_n\;\} називається обмеженою, якщо існує таке число M\;\gt 0, що всі елементи послідовності за модулем будуть менші за це число
|x_n|\; \lt M. \exists M\;\gt 0 \; \forall n : \; |x_n|\;\lt\;M.

Приклади.
Дослідимо наведені вище приклади послідовностей на обмеженість.

1. \{n^2\}=\{1,\;4,\;9,\;16,\;\dots,\; n^2,\;\dots\} послідовність квадратів натуральних чисел обмежена знизу числом 0, але необмежена зверху, оскільки для будь-якого, скіль завгодно великого M знайдеться n таке, що n^2 буде більше за це M.
\forall M \exists n :\; n^2\;\gt\;M.

2. Послідовність \;x_n\;=\;\frac{1}{n} обмежена і зверху і знизу. Всі елементи послідовності, крім першого, росташовані строго між нулем та одиницею. Щоб обмежити строгою нерівеністю всі елементи послідовності, в якості верхньої межі M можна взяти будь-яке число, більше за 1. Так, всі елементи послідовності задовільняють нерівеності 0\;\lt \;x_n\;\lt\;2.

3. 4. Як стала послідовність x_n\;=\;c, так и двоточкова x_n=(-1)^n очевидно обмежені як зверху, так і знизу, тобто просто обмежені.
Última modificación: Sunday, 18 de September de 2016, 23:10