8.7.Функці, неперервні на відрізку.
Означення 1. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (a,b), якщо вона неперeрвна в кожній точці цього інтервалу.
Функція f(x) називається неперервною на замкненому відрізку [a,b], якщо вона неперeрвна в кожній внутрішній точці цього відрізку і, крім того, f(a)=f(a+0) i f(b)=f(b−0).
Теорема 1 (Вейєрштрасса). Неперервна на замкненому відрізку функція обмежена на цьому відрізку і досягає свого найбільшого і найменшого значень.
Насправді теорема містить два твердження, які часто формулюють двома теоремами. Перше - неперервна на відрізку функція обмежена на ньому, тобто існують такі числа m i M , що m≤f(x)≤M,∀x∈[a,b]. Друге твердження полягає в тому, що межові значення функції досягаються, тобто знайдуться такі числа xm∈[a,b] i xM∈[a,b], такі що f(xm)=m a f(xM)=M. Важливо, що якщо функція не є неперевною, причому саме на замкненому відрізку, твердження теореми можуть не виконуватись. Дійсно, розривна функція може бути необмеженою, а неперервна, зростаюча на відкритому інтервалі функція не досягає своїх найбільшого і найменшого значень, тому що просто невизначена на кінцях проміжку зростання.
|
![]() |
Теорема 2 (Больцано-Коші) Якщо неперервна на проміжку [a,b] функція f(x) приймає на його кінцях значення A=f(a) i B=f(b), то вона приймає і будь-яке проміжне між ними.
Теорему Больцано-Коші називають ще теоремою про проміжні значення.
Нехай f(x) неперервна на [a,b] функція і, для визначенності, A<B. Теорема означає, що для будь-якого C, такого, що A≤C≤B знайдеться точка c∈[a,b] така що f(c)=C (Рис 1).
При цьому, якщо функція не є неперервною, вона може приймати не всі проміжні значення, тобто для деяких С може не існувати точки c∈[a,b] такої що f(c)=C (Рис.2).
![]() |
![]() |
![]() |
Рис.1 | Рис.2 | Рис.3 |
Важливішим наслідком з цієї теореми виступає
Наслідок. Якщо неперервна на [a,b] функція y=f(x) приймає на його кінцях значення різних знаків, скажімо f(a)=A>0,f(b)=B<0, то в середині проміжку знайдеться точка, в якій функція обернеться в нуль (Рис.3):
∃c∈(a,b):f(c)=0.
Перш ніж сформулювати останню властивість нагадаємо деякі поняття, що відносяться до функції.
Означення 2. Функція f(x) називається монотонно зростаючою на [a,b] якщо для будь-яких точок x1 i x2 цього відрізку, таких що x1<x2 виконується нерівність f(x1)<f(x2). І функція зазивається монотонно спадаючою, якщо для всіх x1<x2 виконується f(x1)>f(x2). Обидві функції називаються монотонними.
Означення 3. Нехай функція y=f(x) визначена на D має множину значень E. Функція x=f−1(y), що кожному y\inE ставить у відповідність той x\inD, з якого він отриманий функцією y=f(x), називається оберненою до цієї функції.
y=f(x)⇒x=f−1(y),
або
f−1(f(x))=x,f(f−1(y)=y .
Підкреслимо, що областю визначення оберненої функціі виступає множина значень даної функції.
Теорема 3 (Неперервність оберненої функції). Нехай функція y=f(x) неперервна і монотонна на [a,b] і має множину значень у вигляді відрізку [α,β]. Тоді на [α,β] визначена неперервна і монотонна обернена функція x=f−1(y).
Зауваження. Вимоги монотонності не можна позбутись з огляду на однозначну визначенність значення функції в кожній точці. Так фунція обернена до сінусу фунція - арксінус, може бути визначена тільки на проміжку монотонності сінусу, скажімо для [−π2,π2]. І саме для цього відрізку арксінус буде і однозначно визначений, і неперервний, і монотонний, маючи область визначення [−1,1].