8.7.Функці, неперервні на відрізку.

Означення 1. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (a,\;b), якщо вона неперeрвна в кожній точці цього інтервалу.

Функція f(x) називається неперервною на замкненому відрізку [a,\;b], якщо вона неперeрвна в кожній внутрішній точці цього відрізку і, крім того, f(a)=f(a+0) i f(b)=f(b-0).

Теорема 1 (Вейєрштрасса). Неперервна на замкненому відрізку функція обмежена на цьому відрізку і досягає свого найбільшого і найменшого значень.

Насправді теорема містить два твердження, які часто формулюють двома теоремами.

Перше - неперервна на відрізку функція обмежена на ньому, тобто існують такі числа m i M , що

m\le f(x) \le M,\;\;\forall x \in [a,\;b].

Друге твердження полягає в тому, що межові значення функції досягаються, тобто знайдуться такі числа x_m\in[a,\;b] i x_M\in[a,\;b], такі що f(x_m)=m a f(x_M)=M.

Важливо, що якщо функція не є неперевною, причому саме на замкненому відрізку, твердження теореми можуть не виконуватись. Дійсно, розривна функція може бути необмеженою, а неперервна, зростаюча на відкритому інтервалі функція не досягає своїх найбільшого і найменшого значень, тому що просто невизначена на кінцях проміжку зростання.
veershtrass


Теорема 2 (Больцано-Коші) Якщо неперервна на проміжку [a,\;b] функція f(x) приймає на його кінцях значення A=f(a) i B=f(b), то вона приймає і будь-яке проміжне між ними.

Теорему Больцано-Коші називають ще теоремою про проміжні значення.

Нехай f(x) неперервна на [a,\;b] функція і, для визначенності, A\lt B. Теорема означає, що для будь-якого C, такого, що A\le C\le B знайдеться точка c \in [a,\;b] така що f(c)=C (Рис 1).

При цьому, якщо функція не є неперервною, вона може приймати не всі проміжні значення, тобто для деяких С може не існувати точки c \in [a,\;b] такої що f(c)=C (Рис.2).

Bolcano-Koshi NOBolcanoKoshi NullBolcanoKoshi
Рис.1 Рис.2 Рис.3


Важливішим наслідком з цієї теореми виступає

Наслідок. Якщо неперервна на [a,\;b] функція y=f(x) приймає на його кінцях значення різних знаків, скажімо  f(a)=A\gt 0, \;\;f(b)=B \lt 0, то в середині проміжку знайдеться точка, в якій функція обернеться в нуль (Рис.3):

\exists c\in(a,\;b):\; f(c)=0.

Перш ніж сформулювати останню властивість нагадаємо деякі поняття, що відносяться до функції.

Означення 2. Функція f(x) називається монотонно зростаючою на [a,\;b] якщо для будь-яких точок x_1\; i x_2\; цього відрізку, таких що x_1\lt x_2 виконується нерівність f(x_1)\lt f(x_2). І функція зазивається монотонно спадаючою, якщо для всіх x_1\lt x_2 виконується f(x_1)\gt f(x_2). Обидві функції називаються монотонними.

Означення 3. Нехай функція y=f(x) визначена на D має множину значень E. Функція x=f^{-1}(y), що кожному y\inE ставить у відповідність той x\inD, з якого він отриманий функцією y=f(x), називається оберненою до цієї функції.

 y=f(x)\;\Rightarrow\; x=f^{-1}(y),

або

f^{-1}(f(x))=x, \;\;\;f(f^{-1}(y)=y .

Підкреслимо, що областю визначення оберненої функціі виступає множина значень даної функції.

Теорема 3 (Неперервність оберненої функції). Нехай функція y=f(x) неперервна і монотонна на [a,\;b] і має множину значень у вигляді відрізку [\alpha,\;\beta]. Тоді на [\alpha,\;\beta] визначена неперервна і монотонна обернена функція x=f^{-1}(y).

Зауваження. Вимоги монотонності не можна позбутись з огляду на однозначну визначенність значення функції в кожній точці. Так фунція обернена до сінусу фунція - арксінус, може бути визначена тільки на проміжку монотонності сінусу, скажімо для [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. І саме для цього відрізку арксінус буде і однозначно визначений, і неперервний, і монотонний, маючи область визначення [-1,1].

Остання зміна: Monday 19 September 2016 15:44 PM