Математика-ВАВ ...

Означення і властивості нескінченно малих.

Означення 1. Функція $\alpha(x)$ називається нескінченно малою величиною при $x\to x_0$, якщо $\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x) =0$

Наприклад, $x^2$ є нескінченно малою при $x\to 0$, а $\cos x$ - нескінченно мала при $x\to \frac{\pi}{2}$.

Властивості нескінченно малих.

1. Сума нескінченно малих є нескінченно мала.

2. Добуток нескінченно малих є нескінченно мала.

3. Добуток нескінченно малої і обмеженої в околі точки $x_0$ є нескінченно мала.

4. Обернена до нескінченно малої є нескінченно велика, тобто величина, що прямує до нескінченності. І навпаки, обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.

$\alpha(x)\to 0\;\;\Rightarrow\;\;\frac{1}{\alpha(x)}\to\infty$

$\beta(x)\to \infty\;\;\Rightarrow\;\;\frac{1}{\beta(x)}\to0$

Порівняння нескінченно малих.

Означення 2. Нескінченно мала $\alpha(x)$ називається нескінченно малою, порядку малості вищого порівняно з нескінченно малою $\beta(x)$ при $x\to x_0$, якщо

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =0$

При цьому величина $\beta(x)$ називається величиною порядку малості нижчого порівняно з нескінченно малою $\alpha(x)$.

Означення 3. Нескінченно малі $\alpha(x)$ і $\beta(x)$ називаються нескінченно малими, одного порядку малості при $x\to x_0$, якщо

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =k$

Так, $x^2$ і $3x^2$ є величини одного порядку малості при $x\to 0$.

Означення 4. Нескінченно малі $\alpha(x)$ і $\beta(x)$ називаються еквівалентними нескінченно малими, при $x\to x_0$, якщо

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =1$

Пишуть $\alpha \sim \beta$ при $x\to x_0$.

Останнім поняттям можна користуватись для обчислення границь, замінюючи одні нескінченно малі на їм еквівалентні. Сформулюємо це твердження у вигляди теореми.

Теорема. Нехай $f \sim f_1$ а $g \sim g_1$ при $x\to x_0$. Тоді

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$.

Для використання цієї тереми корисним є ланцюжок еквівалентностей при $x\to 0$

$x \sim \sin x \sim tg x \sim arcsin x \sim arctg x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1$.

Приклад.

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x^2)}{\sin^2x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2}=2$.

Ми просто скористались тим, що $\ln(1+2x^2) \sim 2x^2$ a $\sin x \sim x$.

Зауваження. Теорему можна використовувати тільки для заміни цілого чисельника та/або знаменника, а не їх частин, на їм еквівалентні.

Так в прикладі $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x^2}{x^3}$ не можна сінус заміняти на $x$.