Математика: 7.7.Монотонні послідовності. Число е.

7.7.Монотонні послідовності. Число е.

Якщо послідовність має границю, то вона обмежена, але не кожна обмежена послідовність має границю. В той же час, існує умова, яка, разом з обмеженістю, гарантує збіжність послідовності.

Означення.
Послідовність

$\;\{x_n\}$ називаєтся монотонно зростаючою, якщо кожний її навтупний елемент більше за попередній:

$x_{n+1}\;\gt\;x_n \forall n$ .
Аналогічно, послідовність

$\;\{x_n\}$ називаєтся монотонно спадаючою, якщо для будь-якого

$n$ виконується

$x_{n+1} \;\lt\;x_n$

Якщо в определении замінити строгі нерівеності на нестрогі, то отримаємо неспадаючу (

$x_{n+1}\;\ge\;x_n$ ) або незростаючу (

$x_{n+1}\;\le\;x_n$ ) послідовність.

Послідовності, що задовільняють будь-яку з наведених вище умов, називаються монотонними.

Приклади.
1.Послідовність

$\{n^2\}=\{1,\;4,\;9,\;16,\;\dots,\; n^2,\;\dots\}$ монотонно зростає.

2.Послідовність

$\{x_n\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\}$
монотонно спадає.

3.Послідовність

$\{\;(\;-\;1\;)^n \} =\{-1,\;1,\;-1\;1\;\dots,\;(\;-\;1\;)^n,\dots\}$ взагалі не монотонна.

Теорема.
Монотонно зростаюча обмежена зверху числом

$M$ послідовність

$\{x_n\}$ має границю, і ця границя не перебільшує числа

$M$

$\lim\limits_{n \to \infty}x_n \;\le\;M$
Монотонно спадаюча обмежена знизу числом

$L$ послідовність

$\{x_n\}$ має границю, при цьому

$\lim\limits_{n \to \infty}x_n \;\ge\;L$

Зауваження.
В теоремі строге зростання або спадання можна замінити на неспадання і незростання.

Приклад.
Послідовність

$\{x_n\}=\{0,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{5},\;\dots,\; \frac{n-1}{n},\;\dots\}$
монотонно зростає і обмежена зверху одиницею, оскільки дріб

$\frac{n-1}{n}$ завжди строго менше одиниці.
Ця послідовність має границю

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n-1}{n}=1$
.

Число е.
Найважливішим прикладом використання наведеної теореми є означення числа е - основи натурального логарифма, - через границю послідовності.

Розглянемо послідовність

$\{x_n\}=\{\left( 1\;+\;\frac{1}{n} \right)^n\}=\{2,\frac{9}{4},\frac{64}{27},\dots\}$
Можна довести, що ця послідовність, з одного боку, строго зростає, а з іншого, обмежена числом 3:

$x_n\;\lt\; 3$ . Тоді ця послідовність має границю, що також не перебільшує 3. Число, до якого прямує ця послідовність позначається е.

$\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1\;+\;\frac{1}{n} \right)^n=e$
Число е відіграє найважливішу роль в математичному анализі і інших розділах вищої математики. Відмітимо, що число е ірраціональне і, з точністю до 9 знаків дорівнює

$e = 2,718281828\dots$
В грубих розрахунках можно прийняти

$e \approx 2,7$ .

Остання зміна: Monday 19 September 2016 14:31 PM