8.5. Означення неперервності функції в точці.Властивості.
Означення 1. Нехай функція визначена в околі точки
. Функція
називається неперервною в точці
, якщо її границя в цій точці співпадає зі значенням функції в цій точці:
.
Виходячи з властивостей односторонніх границь робимо висновок, що функція буде неперервною в точці, якщо в цій точці обидві односторонні границі існують і дорівнюють значенню в цій точці самої функції.
З теоретичної точки зору важливим є означення на мові "".
Означення 2. Функція називається неперервною в точці
, якщо для будь-якого
існує
таке, що, як тільки
, то
.
Іноді зручно скористатись означенням неперервності, що базується на понятті приросту.
Позначитмо через довільний приріст аргументу
, а через
- відповідний приріст функції. Це означає,що функція змінюється на величину
, коли аргумент змінюється на
.
Означення 3. Функція називається неперервною в точці, якщо нескінченно малому приросту аргумента в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Дійсно, виходячи з Означення 1, записавши замість
і враховуючи означення приростів, маємо
що і обгрунтовує дане Означення 3.
Властивості неперервних функцій.
Як наслідок властивостей границі функції легко отримати наступні властивості неперервної в точці функції.
1. Функція, непервна в точці обмежена в деякому околі цієї точки.
2. Сума неперервних функцій є неперервна функція.
3. Добуток неперервних функцій є функція неперервна.
4 Якщо , то частка
неперервних функцій теж буде неперервною функцією.
На закінчення пункту відмітимо, що геоментрично графік неперервної функції є неперервна лінія в площині $XOY$$.