4.3. Розкладання вектора за базисом

Розкладання вектора за базисом

Задача векторної алгебри полягає в тому, щоб звести операції з геометричним об'єктом - вектором до алгебраїчних операцій.
Введемо прямокутну систему координат в просторі. Вона визначається заданням одиниці виміру довжин і трьох взаємно перпендикулярних вісей, що перетинаються в одній точці \:O\:\:OX\:  - вісь абсцис,  \:OY\:  - вісь ординат,  \:OZ\:  - вісь аплікат.
Введемо три вектори  \:\overline \imath,\,\overline \jmath,\,\overline k\:  одиничної довжини, напрямок яких співпадає з додатнім напрямком вісей. Кожний з таких векторів називається ортом, а їх трійка - базисом.
Візьмемо довільний вектор  \:\overline a\:, перенесемо його початок в початок координат (в точку  \:O) і позначимо його кінцеву точку через  \:A.\:  Проведемо через точку  \:A\:  три площини, перпендикулярні координатним вісям  \:OX,\,OY\: і \:OZ.\:  Відстані від початку координат до точок перетину площин з вісями координат позначимо через  \:a_x,\,a_y,\,a_z.\:  Ці числа і є прямокутні координати точки  \:A.\:
/Razl_basis

Очевидно, що за правилом додавання векторів:

\overline {OA}=\overline a=a_{  {x}}\overline \imath+a_{  {y}}\overline\jmath+a_{  {z}}\overline k, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (1)

або в скороченій формі:

\overline a=(a_{ {x}},a_{  {y}},a_{  {z}}).

Таким чином, будь-який вектор в просторі визначається заданням трьох чисел  \:a_x,\,a_y,\,a_z,\:, що називаються координатами вектора  \:\overline a,\:  а запис (1) є розкладенням вектора  \:\overline a\:  за базисом  \:\overline \imath,\,\overline \jmath,\,\overline k.\:


Представлення (1) дозволяє легко отримати важливі формули:

для довжини вектора - \:{|\overline a|=\sqrt{a_{{x}}^{{2}}+a_{ {y}}^{{2}}+a_{{z}}^{{2}}}}.

і для напрямлюючих косинусів -  \:{\cos\alpha=\frac{a_x}{|\overline a|},\:} \:{\cos\beta=\frac{a_y}{|\overline a|},\:} \:{\cos\gamma=\frac{a_z}{|\overline a|}.}

Зауваження

Якщо вектор заданий координатами початкової і кінцевої точок  \:A(x_1,\,y_1,\,z_1),\,B(x_2,\,y_2,\,z_2),\:  то координати вектора  \:\overline {AB}\:  знаходяться за формулою

\:\overline {AB}=(x_2-x_1,\,y_2-,y_1,\,z_2-z_1).\:


Last modified: Monday, 12 September 2016, 10:51 PM