Математика-ВАВ ...

Якщо в рівнянні площини, що проходить через задану точку з заданим нормальним вектором розкрити дужки, отримаємо

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0$.

Позначивши останню дужку через $D$, приходимо до рівняння, яке носить назву загального рівняння площини.

$Ax+By+Cz+D=0$.

Як і рівняння прямої, рівняння площини є лінійним і являє собою лінійну комбінацію змінних. Площина, як і пряма, також є лінійним об'єктом тривимірного простору.

Неповні рівняння площини.

Розглянемо деякі часткові випадки одержаного рівняння.

Нехай $A=0$, а решта коефіцієнтів ненульові. Рівняння площини набуде вигляду:

$By+Cz+D=0$

Відсутність змінної $x$ показує незалежність виразу від цієї змінної. Геометрично це означає паралельність площини вісі $OX$ (рис.1).

Аналогічно, якщо тільки $B=0$, маємо рівняння площини

$Ax+Cz+D=0$,

паралельної вісі $OY$(рис.2).

Нарешті, якщо $C=0$, маємо рівняння

$Ax+By+D=0$

і площина паралельна $OZ$(рис.3).

рис.1	рис.2	рис.3

У випадку, коли $D=0$ площина має рівняння

$Ax+By+Cz=0$

і проходить через початок координат, тому що для будь-яких коефіцієнтів $A,\,B,\,C$ нульові значення змінних $x,\,y,\,z$ задовільняють наведеному рівнянню.

Може статись, що не один, а два з коефіцієнтів $A,\,B,\,C$ обернуться в нуль.

Наприклад, нехай одночасно і $A=0$, і $B=0$. Отримаємо неповне рівняння

$Cz+D=0$

або $z=-\frac{D}{C}$.

Неважко бачити, що площина з таким рівнянням паралельно одночасно і вісі $OX$, і вісі $OY$ , тобто паралельна площині $XOY$.

Аналогічно можна розглянути і випадки, коли $A=0 \,i\, C=0$ або $B=0 \,i \,C=0$, яким відповідають площини паралельні площинам $XOZ$ і $YOZ$ відповідно.

У випадку, коли жлден з коефіцієнтів не дорівнює нулю, можна отримати форму замису рівняння площини, зручну для побудови і просторового її уявлення. Мається на увазі равняння площини в відрізках на вісях.

Нехай маємо загальне рівняння

$Ax+By+Cz+D=0$

і жодене з чисел $A,\,B,\,C,\,D$ не є нулем.

Тоді ми можемо перенести $D$ праворуч і поділити на $-D$ обидві частини рівності.

$\frac{Ax}{-D}+\frac{By}{-D}+\frac{Cz}{-D}=1$

Перенесемо в знаменники відповідних дробів коефіцієнти $A,\,B,\,C$

$\frac{x}{\frac{-D}{A}}+\frac{y}{\frac{-D}{B}}+\frac{z}{\frac{-D}{C}}=1$

і позначимо

$a=\frac{-D}{A},\;b=\frac{-D}{B},\;c=\frac{-D}{C}$.

Приходимо до рівняння площини у відрізках

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

причому, як неважко бачити, числа $a,\,b,\,c$ є координати точок перетину площини з відповідними вісями координат.