7.1. Числові множини. Натуральні цілі, раціональні числа.

Числові множини

В означенні функції і область визначення і множина значень є числові множини.
І чим різноманітніші ці числові множини, тим більш вони насчені властивостями, і тим, відповідно, більша кількість властивостей, в тому числі, важливих і корисних, буде притаманна і фунекції, що пов'язана з цими множинами.


Почнемо розгляд  числових множин з найпростішої - множини натуральних чисел \; N\;.

Натуральні числа можна визначити як числа, що виникають в процесі рахування предметів, при цьому рахування починається з одиниці.

Таким чином, \;N\;=\left \{\;1,2, 3,\dots,n,\dots \right \} .

На множені натуральних чисел вводяться дві алгебраїчні операції: додавання і множення. Очевидно, сума \;m+n\; двох натуральных чисел є натуральним числом і добуток \;m\cdot n\; натуральних чисел - також натуральне число.
При цьому выконуються властивості:
1. Для додавання.
1.1. \;n+m\;=\;m+n\; - перестановочний закон, або комутативність.
1.2. \;(n+m)+k\;=\;n+(m+k)\; - сполучний закон, або асоціативність.

2. Для множення
2.1. m\cdot n\;=\;n\cdot m\; - комутативність множення
2.2. \;(m\cdot n)\cdot k\;=\;m\cdot(n\cdot k)\; - асоціативність множення.
2.3. При множенні на одиницю число не змінюється 1\cdot n\;=\;n\;.

3. Для комбінації додавання з множенням.
3.1. \;m(n+k)\;=\;m\cdot n+m\cdot k\; - розподільний закон, або дистрибутивність.

4. Порядок.
4.1. Якщо \;n < m\; і \;m < k\;, то \;n< k\; - транзитивність порядку.
4.2. Якщо \;n < m\;, то \;nk < mk\;.
4.3 (Аксіома Архімеда) Для будь-якого натурального числа m знайдеться число n, більше за нього m \lt n.4.4. В множині натуральных чисел є найменше число - одиница. Всі інші натуральні числа більші за одиницю \;n>1\;.

Означення 1.
Числова множина E називається обмеженою зверху , якщо знайдеться таке число M, що будь-яке число x з множини E буде менше за це число M.
\;x \in E\; \Rightarrow \; x \lt M\;
Аналогічно, множина називається обмеженою знизу , якщо знайдеться число L, таке що всі числа з множини будуть більші за це число.
\;x \in E\; \Rightarrow \; x \gt L\;
Нарешті, множина називаеться обмеженою , якщо вона обмежена і знизу, і зверху.

Виходячи з означення, приходимо висновку, що множини натуральних чисел обмежена знизу і необмежена зверху.


Загальнішою числовою множиною є множисна цілих чисел \;Z\;, яка отримується приєднанням до множини натуральних чисел нуля і цілих від'ємних чисел.
Маємо Z=\{0,\pm 1,\pm 2,\dots,\pm n,\dots\}.

Більшість властивостей натуральних чисел залишаються вірными і в множині цілих чисел, але при цьому додаються ще декілька пунктів.

До властивочстей додавання додаються два пункти
1.3. Додавання нуля до будь-якого числа не змінює це число. \;n+0=n\;. Нуль виступає в якості нейтрального елемента додавання, так же як одиниця є нейтральний елемент множення.
1.4. У кожного цілого числа \;n \in Z\; є протилежне йому число \; -\;n\;, тобто є число, додавання до якого дає нуль \;n+(-n)=0\;.
Ця властивість дозволяє ввести операцію віднімання, визначену для будь-яких цілих чисел.
Замітимо ще, що протилежне до протилежного є дане число \;-(-n)=n, що буває валиво при розкритті дужок в алгебраїчних виразах.

До властивостей множення додається пункт
2.4. Добуток будь-якого числа на нуль дорівнює нулю \;0\cdot n=0\;.

у властивостях, пов'язаних з порядком, пункт 4.2. потребує суттєвого уточнення щодо знака множника.
4.2.' Якщо \;n \lt m\; і k \gt 0, то \;nk \lt mk\;, якщо ж \k \lt 0 то nk \gt mk\;.
Нарешті, пункт 4.4. замінюєьтся на властивість необмеженості множини цілих чисел і знизу.
4.4'. Для будь-якого заданого цілого числа m знайдеться ціле число n, менше заданого: \;\;n \lt m\;.
Це означає, що існує не тільки скіль завгодно великі додатні числа, але і скіль завгодно великі (за модулем) від'ємні числа. Необмежене зростання додатніх цілих чисел веде нас до +\infty, а необмежене спадання від'ємних цілих чисел - до - \infty.

Наступним кроком розширення множини чисел є множина раціональних чисел \;Q\;.

Раціональні числа - це числа, представиміе у вигляді звичайного дробу \frac{p}{q}, где \;p \in Z\; - ціле, а q \in N - натуральне.

Знову таки, ця розширена множина має всі раніше перелічені властивості, але, крім того, дозволяє коректно ввести операцію ділення двох чисел, оскільки частка двох раціональних чисел буде раціональним же числом.
При цому перелік властивостей, пов'язанних з операцією множення доповнюється пунктом про обернені числа

2.5. У кожного ненульового раціонального числа r \ne 0 існує обернене число \frac{1}{r}, тобто число, яке в добутку із заданим дає одиницю.
r \cdot \frac{1}{r} = 1.

Крім цього, з множиною раціональних чисел пов'язана властивість зовсім іншої якості - властивість щільності раціональних чисел на числовій прямій.

5. Властивість щільності. Між будь-якими двома раціональними числами знайдеться принаймні одне раціональне число.

Насправді, між будь-якими двома раціональними числами знаходится безліч інших раціональних чисел.

Але, незважаючи на те, що раціональні числа розміщуються на числовій прямій дуже щільно, на цій же прямій є ще достатньо місця для розмещіння ірраціональних чисел, таких як, наприклад, \sqrt{2}, \;\;\pi , які неможливо представити у вигляді відношення цілого і натурального чисел. Більше того, іррациональних чисел в певному сенсі навіть більше, ніж раціональних.

Об'єднуючи раціональні і ірраціональні числа, приходимо до множини дійсних чисел.
Last modified: Sunday, 18 September 2016, 11:07 PM