Означення 1. Послідовністю дійсних чисел, або просто послідовністю називається впорядкована нескінечена множіни дійсних чисел, елементи якої занумеровані натуральними числами. Послідовність позначається
Числа називаються елементами послідовності.
Занумеровані - означає, що кожному елементу послідовності поставлено у відповідність певне натуральне число, і, навпаки, кожному натуральному числу відповідає певний едемент послідовності. Таким чиномо, існує взаємно-однозначна вілповідність між множиною елементів послідовності і множиною натуральних чисел. Можна сказати, що послідовність - це зліченна впорядкована множина дійсних чисел.
Приклади послідовностей 1. послідовність квадратів натуральних чисел.
2. - елементи послідовності є числа, обернені своєму номеру: . 3. - стала послідовність: всі елементи дорівнюють одному і тому ж числу .
Приклад ілюструє, що різні елементи послідовності можуть мати однакові значення.
Так, третій и п'ятий елементи послідовності дорівнюють одному і тому ж числу
і , але вони залишаються різними елементами послідовності, оскільки відрізняються номером.
4. - двоточкова послідовність, елементи якої по черзі приймають два значения 1 і -1.
Означення 2. Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число , що всі елементи послідовності будуть менші цього числа . Або, використовуючи квантори, обмежена зверху, якщо . Аналогічно, послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число , що всі елементи послідовності будуть більші цього числа . . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху. Часто обмеженість послідовності означають за допомогою модулю. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що всі елементи послідовності за модулем будуть менші за це число . .
Приклади. Дослідимо наведені вище приклади послідовностей на обмеженість.
1. послідовність квадратів натуральних чисел обмежена знизу числом 0, але необмежена зверху, оскільки для будь-якого, скіль завгодно великого знайдеться таке, що буде більше за це . .
2. Послідовність обмежена і зверху і знизу. Всі елементи послідовності, крім першого, росташовані строго між нулем та одиницею. Щоб обмежити строгою нерівеністю всі елементи послідовності, в якості верхньої межі можна взяти будь-яке число, більше за 1. Так, всі елементи послідовності задовільняють нерівеності .
3. 4. Як стала послідовність , так и двоточкова очевидно обмежені як зверху, так і знизу, тобто просто обмежені. |