7.3 Означення послідовності. Обмежені послідовності

Знайомство з поняттями математичного анализу почнемо з числових послідовностей.

Означення 1.
Послідовністю дійсних чисел, або просто послідовністю називається впорядкована нескінечена множіни дійсних чисел, елементи якої занумеровані натуральними числами.

Послідовність позначається {xn}={x1,x2xn,}

Числа xn називаються елементами послідовності.

Занумеровані - означає, що кожному елементу послідовності поставлено у відповідність певне натуральне число, і, навпаки, кожному натуральному числу відповідає певний едемент послідовності. Таким чиномо, існує взаємно-однозначна вілповідність між множиною елементів послідовності і множиною натуральних чисел.

Можна сказати, що послідовність - це зліченна впорядкована множина дійсних чисел.

Приклади послідовностей

1. {n2}={1,4,9,16,,n2,} послідовність квадратів натуральних чисел.
xn=n2

2. {1n}={1,12,13,,1n,} - елементи послідовності є числа, обернені своєму номеру: xn=1n.

3. {c}={c,c,,c,} - стала послідовність: всі елементи дорівнюють одному і тому ж числу c.

Приклад ілюструє, що різні елементи послідовності можуть мати однакові значення.

Так, третій и п'ятий елементи послідовності {1,2,4,3,4,6,} дорівнюють одному і тому ж числу
x3=4 і x5=4,
але вони залишаються різними елементами послідовності, оскільки відрізняються номером.

4. {(1)n}={1,1,11,(1)n,} - двоточкова послідовність, елементи якої по черзі приймають два значения 1 і -1.

Означення 2.
Послідовність {xn} називається обмеженою зверху, якщо існує таке число M, що всі елементи послідовності будуть менші цього числа xn<M.
Або, використовуючи квантори, {xn} обмежена зверху, якщо Mn:xn<M.
Аналогічно, послідовність {xn} називається обмеженою знизу, якщо існує таке число L, що всі елементи послідовності будуть більші цього числа xn>L.
Ln:xn>L.
Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху.
Часто обмеженість послідовності означають за допомогою модулю.
Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке число M>0, що всі елементи послідовності за модулем будуть менші за це число
|xn|<M.M>0n:|xn|<M.

Приклади.
Дослідимо наведені вище приклади послідовностей на обмеженість.

1. {n2}={1,4,9,16,,n2,} послідовність квадратів натуральних чисел обмежена знизу числом 0, але необмежена зверху, оскільки для будь-якого, скіль завгодно великого M знайдеться n таке, що n2 буде більше за це M.
Mn:n2>M.

2. Послідовність xn=1n обмежена і зверху і знизу. Всі елементи послідовності, крім першого, росташовані строго між нулем та одиницею. Щоб обмежити строгою нерівеністю всі елементи послідовності, в якості верхньої межі M можна взяти будь-яке число, більше за 1. Так, всі елементи послідовності задовільняють нерівеності 0<xn<2.

3. 4. Як стала послідовність xn=c, так и двоточкова xn=(1)n очевидно обмежені як зверху, так і знизу, тобто просто обмежені.
Last modified: Sunday, 18 September 2016, 11:10 PM