7.3 Означення послідовності. Обмежені послідовності
Знайомство з поняттями математичного анализу почнемо з числових послідовностей.
Означення 1. Послідовністю дійсних чисел, або просто послідовністю називається впорядкована нескінечена множіни дійсних чисел, елементи якої занумеровані натуральними числами. Послідовність позначається {xn}={x1,x2…xn,…} Числа xn називаються елементами послідовності. Занумеровані - означає, що кожному елементу послідовності поставлено у відповідність певне натуральне число, і, навпаки, кожному натуральному числу відповідає певний едемент послідовності. Таким чиномо, існує взаємно-однозначна вілповідність між множиною елементів послідовності і множиною натуральних чисел. Можна сказати, що послідовність - це зліченна впорядкована множина дійсних чисел. Приклади послідовностей 1. {n2}={1,4,9,16,…,n2,…} послідовність квадратів натуральних чисел. xn=n2 2. {1n}={1,12,13,…,1n,…} - елементи послідовності є числа, обернені своєму номеру: xn=1n. 3. {c}={c,c,…,c,…} - стала послідовність: всі елементи дорівнюють одному і тому ж числу c. Приклад ілюструє, що різні елементи послідовності можуть мати однакові значення. Так, третій и п'ятий елементи послідовності {1,−2,4,−3,4,6,…} дорівнюють одному і тому ж числу x3=4 і x5=4, але вони залишаються різними елементами послідовності, оскільки відрізняються номером. 4. {(−1)n}={−1,1,−11…,(−1)n,…} - двоточкова послідовність, елементи якої по черзі приймають два значения 1 і -1. Означення 2. Послідовність {xn} називається обмеженою зверху, якщо існує таке число M, що всі елементи послідовності будуть менші цього числа xn<M. Або, використовуючи квантори, {xn} обмежена зверху, якщо ∃M∀n:xn<M. Аналогічно, послідовність {xn} називається обмеженою знизу, якщо існує таке число L, що всі елементи послідовності будуть більші цього числа xn>L. ∃L∀n:xn>L. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху. Часто обмеженість послідовності означають за допомогою модулю. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке число M>0, що всі елементи послідовності за модулем будуть менші за це число |xn|<M.∃M>0∀n:|xn|<M. Приклади. Дослідимо наведені вище приклади послідовностей на обмеженість. 1. {n2}={1,4,9,16,…,n2,…} послідовність квадратів натуральних чисел обмежена знизу числом 0, але необмежена зверху, оскільки для будь-якого, скіль завгодно великого M знайдеться n таке, що n2 буде більше за це M. ∀M∃n:n2>M. 2. Послідовність xn=1n обмежена і зверху і знизу. Всі елементи послідовності, крім першого, росташовані строго між нулем та одиницею. Щоб обмежити строгою нерівеністю всі елементи послідовності, в якості верхньої межі M можна взяти будь-яке число, більше за 1. Так, всі елементи послідовності задовільняють нерівеності 0<xn<2. 3. 4. Як стала послідовність xn=c, так и двоточкова xn=(−1)n очевидно обмежені як зверху, так і знизу, тобто просто обмежені. |
Последнее изменение: Sunday, 18 September 2016, 23:10