1. Послідовність ![\{x_n\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\} \{x_n\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/ebe225893a845fa3c2f317b3c0afc5af.gif) має границею 0:
![\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/c64d0567d3815d706b9a613d475344dd.gif) Це означає, що наскільки б маленьким ми не взяли , скажімо, , все одно знайдеться достатньо великий номер (для нашого таким номером буде ), такий що для всіх величина буде менше за , тобто буде ближче до 0, чім . Дійсно, і , і і всі наступні елементи послідовності будуть менші за , тобто відстоять від 0 менше, ніж на , а це і означає, що 0 є границя цієї послідовності.
2. Границя послідовності ![\{x_n\}=\{0,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{5},\;\dots,\; \frac{n-1}{n},\;\dots\} \{x_n\}=\{0,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{5},\;\dots,\; \frac{n-1}{n},\;\dots\}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/153686c53576a014e6d64fefce9c37c0.gif) дорівнює 1:
![\lim_{n \to \infty}\frac{n-1}{n}=1 \lim_{n \to \infty}\frac{n-1}{n}=1](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/4ee86495aae22a05a9f9040091d5be12.gif) Дійсно, для обраного візьмемо . Тоді для всіх маємо
.
Починаючи з всі елементи послідовності відстоять від 1 менше, ніж на , тобто якраз 1 і є границею послідовності .
Зазначимо, що номер , взагалі кажучи, залежить від , як правило, чим менше , тім більший номер доводиться обирати. Але, щоб границя існувала, необхідно, щоб для кожного відповідаючий йому номер все ж таки знайшовся.
3. Границя сталої послідовності дорівнює числу с, оскільки всі елементи послідовності завідомо знаходяться в будь-якому, скіль зівгодно малому околі точки с.
![\lim_{n \to \infty} c=c \lim_{n \to \infty} c=c](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/100751104ba2f90ca1955c852049f06d.gif) 4. Границя послідовності взагалі не існує. Яке б число ми ни спробували б узяти в якості границі, елементи послідовності , прямуючи в нескінченість, не зможуть знаходитись в малому околі цього числа.
|