7.5. Властивості границі послідовності.
Пункт присвячений властивостям послідовностей, пов’язаних з їх границями.
Властивість 1 (єдиність границі). Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.
Дійсно, якщо припустити, що послідовність має дві різні границі , то для достатньо малого -околи цих точок не будуть перетинатись. Отже, який номер ми б не обрали, всі наступні за элементи послідовності не можуть знаходитися одночасно і в одному і в другому -околі. Таким чином, границя послідовності може бути тільки одна.
Наприклад, двоточкова послідовність ![\{x_n\}\;=\;\{(\;-\;1\;)^n\} \{x_n\}\;=\;\{(\;-\;1\;)^n\}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/4596a6c1ab405ddfae2e0adec1609555.gif) не має границі, оскільки елементи по чеорзі знаходяться то в околі точки , то в околі , а при малих ці околи не перетинаються. |
Властивість 2 (обмеженість збіжної послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Нехай . Обмеженість означає, що існує таке , що всі елементи послідовності будуть знаходитись в інтервалі .
![\exists M \gt 0 \forall n : |x_n \;-\;a|\; \lt M \exists M \gt 0 \forall n : |x_n \;-\;a|\; \lt M](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/a3426366ede9d0f2f6bac8006f063cd0.gif)
Знайдемо таке . Для довільно обраного знайдеться такий, що, починаючи з цього номеру, всі елементи послідовності містяться в -околі точки . Поза цим околом залишається лише скінченна кількість перших елементов. Залишилось взяти таким великим, щоб охопити всі елементи, що опинились поза -околом. Обмеженість доведена.
Зауваження 1. Обмеженість лише необхідна, але не достатня умова збіжності. Послідовність може бути огмеженою, але не мати границі (наприклад, як розглянута раніше двоточкова послідовність ).
Наслідок. Якщо послідовність необмежена, то її границя не існує.
Так, необмежена послідовність не має границі.
Зауваження 2. Якщо послідовність необмежено зростає, кажуть, що вона прямує до нескінченності і умовно пишуть або ![x_n\;\rightarrow\; \infty x_n\;\rightarrow\; \infty](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/22acb536fcbd7a9500992d2dfb929596.gif) Аналогічно або ![x_n\;\rightarrow\;- \infty x_n\;\rightarrow\;- \infty](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/f9a98f2768ec9fb5c3522490df82946a.gif) означає, що послідовність необмежено спадає. |
Властивість 3 (арифметичні операції з послідовностями). Якщо послідовності і мають границями числа і відповідно
, ![\lim\limits_{n \to \infty}y_n=b \lim\limits_{n \to \infty}y_n=b](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/b90d7b07a4142055a1f92c9e791cbdad.gif) то: 1. Границя суми дорівнює суммі границь .
2. Стала виноситься за знак границі .
3. Границя добутку дорівнює добутку границь .
4. Якщо , то границя частнки дорівнює частці границь.
.
5. Якщо послідовність необмежена, зокрема, якщо , то .
Наприклад,
, оскільки при необмеженому зростанні . |
Zuletzt geändert: Sunday, 18. September 2016, 23:14