7.7.Монотонні послідовності. Число е.
Якщо послідовність має границю, то вона обмежена, але не кожна обмежена послідовність має границю. В той же час, існує умова, яка, разом з обмеженістю, гарантує збіжність послідовності.
Означення. Послідовність називаєтся монотонно зростаючою, якщо кожний її навтупний елемент більше за попередній: . Аналогічно, послідовність називаєтся монотонно спадаючою, якщо для будь-якого виконується ![x_{n+1} \;\lt\;x_n x_{n+1} \;\lt\;x_n](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/1da157912ab03c6388a3a81b43e28101.gif)
Якщо в определении замінити строгі нерівеності на нестрогі, то отримаємо неспадаючу ( ) або незростаючу ( ) послідовність.
Послідовності, що задовільняють будь-яку з наведених вище умов, називаються монотонними.
Приклади. 1.Послідовність монотонно зростає.
2.Послідовність ![\{x_n\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\} \{x_n\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/ebe225893a845fa3c2f317b3c0afc5af.gif) монотонно спадає.
3.Послідовність взагалі не монотонна.
|
Теорема. Монотонно зростаюча обмежена зверху числом послідовність має границю, і ця границя не перебільшує числа
![\lim\limits_{n \to \infty}x_n \;\le\;M \lim\limits_{n \to \infty}x_n \;\le\;M](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/b8c380e0e99560290ccbb41681c0eddc.gif) Монотонно спадаюча обмежена знизу числом послідовність має границю, при цьому
![\lim\limits_{n \to \infty}x_n \;\ge\;L \lim\limits_{n \to \infty}x_n \;\ge\;L](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/c50e6bb9a57793920b1ff7415db53155.gif)
Зауваження. В теоремі строге зростання або спадання можна замінити на неспадання і незростання.
Приклад. Послідовність ![\{x_n\}=\{0,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{5},\;\dots,\; \frac{n-1}{n},\;\dots\} \{x_n\}=\{0,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{5},\;\dots,\; \frac{n-1}{n},\;\dots\}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/153686c53576a014e6d64fefce9c37c0.gif) монотонно зростає і обмежена зверху одиницею, оскільки дріб завжди строго менше одиниці. Ця послідовність має границю
![\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n-1}{n}=1 \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n-1}{n}=1](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/47139219572fedbe9104675bf41fb2d6.gif) . |
Число е. Найважливішим прикладом використання наведеної теореми є означення числа е - основи натурального логарифма, - через границю послідовності.
Розглянемо послідовність
![\{x_n\}=\{\left( 1\;+\;\frac{1}{n} \right)^n\}=\{2,\frac{9}{4},\frac{64}{27},\dots\} \{x_n\}=\{\left( 1\;+\;\frac{1}{n} \right)^n\}=\{2,\frac{9}{4},\frac{64}{27},\dots\}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/372492a54abefa1f4e862d840748913b.gif) Можна довести, що ця послідовність, з одного боку, строго зростає, а з іншого, обмежена числом 3: . Тоді ця послідовність має границю, що також не перебільшує 3. Число, до якого прямує ця послідовність позначається е.
![\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1\;+\;\frac{1}{n} \right)^n=e \lim\limits_{n \to \infty}\left( 1\;+\;\frac{1}{n} \right)^n=e](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/5f736f9778adbdb2c989178f525a3fbb.gif) Число е відіграє найважливішу роль в математичному анализі і інших розділах вищої математики. Відмітимо, що число е ірраціональне і, з точністю до 9 знаків дорівнює
![e = 2,718281828\dots e = 2,718281828\dots](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/cf5c70891782e745b57a2e1a0134cb99.gif) В грубих розрахунках можно прийняти . |
Modifié le: Monday 19 September 2016, 14:31