Означення 1. Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якого, скіль завгодно малого, додатнього знайдеться таке , що для всіх таких, що , виконується нерівність ![|f(x)-A|\lt \varepsilon |f(x)-A|\lt \varepsilon](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/34ceb496d12f0069e9dd9165798799f8.gif) Границя функції позначаеться так:
З використанням кванторів це означення можна записати так: ![\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta>0\,\forall x \,|x-x_0|\lt\delta\,:\, |f(x)-A|\lt\varepsilon \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta>0\,\forall x \,|x-x_0|\lt\delta\,:\, |f(x)-A|\lt\varepsilon](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/c82c38b05d9b2d5f62330e9ef239292c.gif)
Це означення на мові " " належить французському математику початку XIX століття Коші. Приведемо і інші, можливо, наглядніші означення границі функції, еквівалентні наведеному.
Означення 2 (на мові околів). Позначимо через - -окіл точки , а - -окіл точки . Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якого околу точки знайдеться такий окіл точки , що як тільки так .
![Function's limit at the point](http://ec.zgia.zp.ua/draftfile.php?file=/11/user/draft/177405321/func_lim_1.gif)
Дамо ще одне означення границі функції в точці, яке спирається на раніше надане означення границі послідовності. Це означення, що належить Вейерштрассу, наглядніше, але від цього не менш строге.
Означення 3. (на мові послідовностей). Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якої послідовності , що збігається до , послідовність відповідних значень функції збігається до . ![\forall \{x_n\} \to x_0 :\,\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)\,=\,A \forall \{x_n\} \to x_0 :\,\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)\,=\,A](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/3279d02ae874730d24be6fcaa6542848.gif)
В цьому означенні важливо, щоб послідовність значень функції прямувала до для будь-якої послідовності, що збігається до .
Зазначимо ще, що в кожному з означень функція не обов’язково повинна бути визначеною в самій точці , а лише в деякому її околі.
|