8.3.Перша і друга важливі границі.
Перша важлива границя.
limx→0sinxx=1
Ця границя дійсно важлива, як в теоретичних дослідженнях, так і при розв’язанні деяких практичних задач.
Перш ніж перейти до прикладів її використання, проаналізуємо її структуру.
Відмітимо три моменти:
1) в чисельнику стоїть сінус;
2) в знаменнику стоїть в точності аргумент цього сінусу;
3) цей аргумент прямує до нуля.
Якщо всі три зазначені елементи виконані, границею буде одиниця.
Приклад 1.
limx→0sin4xx
З трьох зазаначених умов не виконується друга: в знаменнику не достає коефіцієнта 4. Нам потрібна четвірка в знаменнику - ми її допишемо, але, щоб не порушилась рівність, чисельник теж домножимо на 4. Далі, після очевидних перетворень, враховуючи, що з x→0 випливає також 4x→0, отримаємо результат.
limx→0sin4xx=limx→04sin4x4x=4limx→0sin4x4x=4lim4x→0sin4x4x=4
Приклад 2.
limx→01−cosxx2
В цьому прикладі, в першу чергу, не достає сінуса, тому починаємо з використання тригонометричної формули.
limx→01−cosxx2=limx→02sin2x2x2=2limx→0sin2x2x2
Оскільки границя добутку є добуток границь, очевидно, в данному випадку, границя квадрата виразу дорівнює квадрату границі виразу. Залишить скористатись прийомом з попереднього прикладу.
limx→01−cosxx2=2(limx→0sinx2x)2=2(limx→012sinx2x2)2=2⋅14⋅12=12
Приклад 3.
limx→π2(π−2x)tgx
Маємо невизначеність {0⋅∞}. Перетворимо вираз в дріб з невизначенністю {00} , щоб використати першу важливу границю.
limx→π2(π−2x)tgx=limx→π2(π−2x)sinxcosx
Помічаючи, що sinπ2=1≠0, і, отже, ми можемо без втрати невизначенності розписати границю на добуток границь, одна з яких, після використання формул зведення стає схожою не першу важливу границю.
limx→π2(π−2x)tgx=limx→π2(π−2x)cosxlimx→π2sinx=limx→π22(π2−x)sin(π2−x)⋅1
З метою збільшення прозорості можна, але не обов’язково, ввести нову змінну, скажімо, покласти y=π2−x. При цьому, очевидно, коли x→π2 то y→0. Тоді отримаємо
limx→π2(π−2x)tgx=2limy→0ysiny=2(limy→0sinyy)−1=2⋅1−1=2
Перш ніж перейти до другої важливої границі, наведемо деякі корисні наслідки з першої важливої границі.
limx→0xsinx=1,limx→0tgxx=1,limx→0arcsinxx=1,limx→0arctgxx=1.
Друга важлива границя.
limn→∞(1+1n)n=e
Ця рівність не є якийсь новий факт, це знайоме нам означення числа е, але ми тепер розглянемо можливості використання цієї рівності для обчислення границь.
Спочатку проаналізуємо структуру формули.
1) маємо невизначенність {1∞};
2) в дужках - одиниця плюс величина, що прямує до нуля - нескінченно мала;
3) в показнику - величина в точності обернена до цієї нескінченно малої.
Приклад 4.
limn→∞(n−3n)n
Спочатку отримаємо в дужках одиницю плюс нескінченно малу, поділмвши почленно чисельник на знаменник, після чого приведемо у потрібний вигляд показник поза дужкою.
limn→∞(n−3n)n=limn→∞(1+(−3n))n=limn→∞(1+(−3n))(n−3)(−3)==(limn→∞(1+(−3n))(n−3))−3=e−3
Відповідь limn→∞(n−3n)n=e−3.
Приклад 5.
limx→∞(x2x2−3x+1)x+2
Обчислення показують, що вираз в дужках прямує до одиниці, тоді маємо невизначенність {1∞} і необхідність використання другої важливої границі.
Перетворити вираз в дужках до потрібної одиниці з маленькою можна, наприклад, поділивши чисельник на знаменник кутом, але ми, знаючи приблизний вигляд результуючого виразу, скористаємось дещо штучним, але поширеним прийомом.
Додамо і віднімемо в чисельнику вираз, що доповнює існуючий чисельник до вигляду знаменника, після чого ділимо почленно чисельник на знаменник.
limx→∞(x2x2−3x+1)x+2=limx→∞((x2−3x+1)+(3x−1)x2−3x+1)x+2=limx→∞(1+3x−1x2−3x+1)x+2
Тепер помножимо і поділимо показник на отриманий дріб з метою прийти до виразу, що в границі призводить до числа e.
limx→∞(x2x2−3x+1)x+2=limx→∞(1+3x−1x2−3x+1)x2−3x+13x−1(x+2)3x−1x2−3x+1=limx→∞((1+3x−1x2−3x+1)x2−3x+13x−1)(x+2)(3x−1)x2−3x+1=elimx→∞(x+2)(3x−1)x2−3x+1=e3
Як і у випадку першої важливої границі, наведемо корисні наслідки з другої важливої границі.
limn→∞(1+mn)n=em,limx→0(1+x)1x=e,limx→0ln(1+x)x=1,limx→0ex−1x=1