8.3.Перша і друга важливі границі.

Перша важлива границя.

limx0sinxx=1

Ця границя дійсно важлива, як в теоретичних дослідженнях, так і при розв’язанні деяких практичних задач.

Перш ніж перейти до прикладів її використання, проаналізуємо її структуру.

Відмітимо три моменти:

1) в чисельнику стоїть сінус;

2) в знаменнику стоїть в точності аргумент цього сінусу;

3) цей аргумент прямує до нуля.

Якщо всі три зазначені елементи виконані, границею буде одиниця.

Приклад 1.

limx0sin4xx

З трьох зазаначених умов не виконується друга: в знаменнику не достає коефіцієнта 4. Нам потрібна четвірка в знаменнику - ми її допишемо, але, щоб не порушилась рівність, чисельник теж домножимо на 4. Далі, після очевидних перетворень, враховуючи, що з x0 випливає також 4x0, отримаємо результат.

limx0sin4xx=limx04sin4x4x=4limx0sin4x4x=4lim4x0sin4x4x=4

Приклад 2.

limx01cosxx2

В цьому прикладі, в першу чергу, не достає сінуса, тому починаємо з використання тригонометричної формули.

limx01cosxx2=limx02sin2x2x2=2limx0sin2x2x2

Оскільки границя добутку є добуток границь, очевидно, в данному випадку, границя квадрата виразу дорівнює квадрату границі виразу. Залишить скористатись прийомом з попереднього прикладу.

limx01cosxx2=2(limx0sinx2x)2=2(limx012sinx2x2)2=21412=12

Приклад 3.

limxπ2(π2x)tgx

Маємо невизначеність {0}. Перетворимо вираз в дріб з невизначенністю {00} , щоб використати першу важливу границю.

limxπ2(π2x)tgx=limxπ2(π2x)sinxcosx

Помічаючи, що sinπ2=10, і, отже, ми можемо без втрати невизначенності розписати границю на добуток границь, одна з яких, після використання формул зведення стає схожою не першу важливу границю.

limxπ2(π2x)tgx=limxπ2(π2x)cosxlimxπ2sinx=limxπ22(π2x)sin(π2x)1

З метою збільшення прозорості можна, але не обов’язково, ввести нову змінну, скажімо, покласти y=π2x. При цьому, очевидно, коли xπ2 то y0. Тоді отримаємо

limxπ2(π2x)tgx=2limy0ysiny=2(limy0sinyy)1=211=2

Перш ніж перейти до другої важливої границі, наведемо деякі корисні наслідки з першої важливої границі.

limx0xsinx=1,limx0tgxx=1,limx0arcsinxx=1,limx0arctgxx=1.

Друга важлива границя.

limn(1+1n)n=e

Ця рівність не є якийсь новий факт, це знайоме нам означення числа е, але ми тепер розглянемо можливості використання цієї рівності для обчислення границь.

Спочатку проаналізуємо структуру формули.

1) маємо невизначенність {1};

2) в дужках - одиниця плюс величина, що прямує до нуля - нескінченно мала;

3) в показнику - величина в точності обернена до цієї нескінченно малої.

Приклад 4.

limn(n3n)n

Спочатку отримаємо в дужках одиницю плюс нескінченно малу, поділмвши почленно чисельник на знаменник, після чого приведемо у потрібний вигляд показник поза дужкою.

limn(n3n)n=limn(1+(3n))n=limn(1+(3n))(n3)(3)==(limn(1+(3n))(n3))3=e3

Відповідь limn(n3n)n=e3.

Приклад 5.

limx(x2x23x+1)x+2

Обчислення показують, що вираз в дужках прямує до одиниці, тоді маємо невизначенність {1} і необхідність використання другої важливої границі.

Перетворити вираз в дужках до потрібної одиниці з маленькою можна, наприклад, поділивши чисельник на знаменник кутом, але ми, знаючи приблизний вигляд результуючого виразу, скористаємось дещо штучним, але поширеним прийомом.

Додамо і віднімемо в чисельнику вираз, що доповнює існуючий чисельник до вигляду знаменника, після чого ділимо почленно чисельник на знаменник.

limx(x2x23x+1)x+2=limx((x23x+1)+(3x1)x23x+1)x+2=limx(1+3x1x23x+1)x+2

Тепер помножимо і поділимо показник на отриманий дріб з метою прийти до виразу, що в границі призводить до числа e.

limx(x2x23x+1)x+2=limx(1+3x1x23x+1)x23x+13x1(x+2)3x1x23x+1=limx((1+3x1x23x+1)x23x+13x1)(x+2)(3x1)x23x+1=elimx(x+2)(3x1)x23x+1=e3

Як і у випадку першої важливої границі, наведемо корисні наслідки з другої важливої границі.

limn(1+mn)n=em,limx0(1+x)1x=e,limx0ln(1+x)x=1,limx0ex1x=1

Last modified: Monday, 19 September 2016, 3:02 PM