8.4.Використання нескінченно малих для обчислення границь.
Означення і властивості нескінченно малих.
Означення 1. Функція називається нескінченно малою величиною при
, якщо
Наприклад, є нескінченно малою при
, а
- нескінченно мала при
.
Властивості нескінченно малих.
1. Сума нескінченно малих є нескінченно мала.
2. Добуток нескінченно малих є нескінченно мала.
3. Добуток нескінченно малої і обмеженої в околі точки є нескінченно мала.
4. Обернена до нескінченно малої є нескінченно велика, тобто величина, що прямує до нескінченності. І навпаки, обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.
Порівняння нескінченно малих.
Означення 2. Нескінченно мала називається нескінченно малою, порядку малості вищого порівняно з нескінченно малою
при
, якщо
При цьому величина називається величиною порядку малості нижчого порівняно з нескінченно малою
.
Означення 3. Нескінченно малі і
називаються нескінченно малими, одного порядку малості при
, якщо
Так, і
є величини одного порядку малості при
.
Означення 4. Нескінченно малі і
називаються еквівалентними нескінченно малими, при
, якщо
Останнім поняттям можна користуватись для обчислення границь, замінюючи одні нескінченно малі на їм еквівалентні. Сформулюємо це твердження у вигляди теореми.
Для використання цієї тереми корисним є ланцюжок еквівалентностей при
Приклад.
Ми просто скористались тим, що a
.
Зауваження. Теорему можна використовувати тільки для заміни цілого чисельника та/або знаменника, а не їх частин, на їм еквівалентні.