Математика-ВАВ ...

Означення 1. Нехай функція $f(x)$ визначена в околі точки $x_0$. Функція $f(x)$ називається неперервною в точці $x_0$, якщо її границя в цій точці співпадає зі значенням функції в цій точці: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

Виходячи з властивостей односторонніх границь робимо висновок, що функція буде неперервною в точці, якщо в цій точці обидві односторонні границі існують і дорівнюють значенню в цій точці самої функції.

З теоретичної точки зору важливим є означення на мові "$\varepsilon\;-\;\delta$".

Означення 2. Функція $f(x)$ називається неперервною в точці $x_0$, якщо для будь-якого $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$ таке, що, як тільки $|x-x_0| \lt \delta$, то $|f(x)-f(x_0)| \lt \varepsilon$.

$\forall \varepsilon >0 \; \exists \delta >0 \; \forall x:\;|x-x_0|\lt\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon$

Іноді зручно скористатись означенням неперервності, що базується на понятті приросту.

Позначитмо через $\Delta x=x-x_0$ довільний приріст аргументу $x$, а через $\Delta y= f(x)-f(x_0)$ - відповідний приріст функції. Це означає,що функція змінюється на величину $\Delta y$, коли аргумент змінюється на $\Delta x$.

Означення 3. Функція називається неперервною в точці, якщо нескінченно малому приросту аргумента в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.

Тобто $\lim\limits_{\Delta x\to 0} \Delta y=0$

Дійсно, виходячи з Означення 1, записавши $x-x_0 \to 0$ замість $x\to x_0$ і враховуючи означення приростів, маємо

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\;\Rightarrow\;\lim\limits_{x-x_0\to 0}[f(x)-f(x_0)]=0\;\Rightarrow\;\lim\limits_{\Delta x\to 0} \Delta y=0$ що і обгрунтовує дане Означення 3.

Властивості неперервних функцій.

Як наслідок властивостей границі функції легко отримати наступні властивості неперервної в точці $x_0$ функції.

1. Функція, непервна в точці $x_0$ обмежена в деякому околі цієї точки.

2. Сума $f(x)+g(x)$ неперервних функцій є неперервна функція.

3. Добуток $f(x)\cdot g(x)$ неперервних функцій є функція неперервна.

4 Якщо $g(x_0)\ne 0$, то частка $\frac{f(x)}{g(x)}$ неперервних функцій теж буде неперервною функцією.

На закінчення пункту відмітимо, що геоментрично графік неперервної функції є неперервна лінія в площині $XOY$$.