Математика-ВАВ ...

Означення 1. Функція $f(x)$ називається неперервною на інтервалі $(a,\;b)$, якщо вона неперeрвна в кожній точці цього інтервалу.

Функція $f(x)$ називається неперервною на замкненому відрізку $[a,\;b]$, якщо вона неперeрвна в кожній внутрішній точці цього відрізку і, крім того, $f(a)=f(a+0)$ i $f(b)=f(b-0)$.

Теорема 1 (Вейєрштрасса). Неперервна на замкненому відрізку функція обмежена на цьому відрізку і досягає свого найбільшого і найменшого значень.

Насправді теорема містить два твердження, які часто формулюють двома теоремами. Перше - неперервна на відрізку функція обмежена на ньому, тобто існують такі числа $m$ i $M$ , що $m\le f(x) \le M,\;\;\forall x \in [a,\;b]$. Друге твердження полягає в тому, що межові значення функції досягаються, тобто знайдуться такі числа $x_m\in[a,\;b]$ i $x_M\in[a,\;b]$, такі що $f(x_m)=m$ a $f(x_M)=M$. Важливо, що якщо функція не є неперевною, причому саме на замкненому відрізку, твердження теореми можуть не виконуватись. Дійсно, розривна функція може бути необмеженою, а неперервна, зростаюча на відкритому інтервалі функція не досягає своїх найбільшого і найменшого значень, тому що просто невизначена на кінцях проміжку зростання.

Теорема 2 (Больцано-Коші) Якщо неперервна на проміжку $[a,\;b]$ функція $f(x)$ приймає на його кінцях значення $A=f(a)$ i $B=f(b)$, то вона приймає і будь-яке проміжне між ними.

Теорему Больцано-Коші називають ще теоремою про проміжні значення.

Нехай $f(x)$ неперервна на $[a,\;b]$ функція і, для визначенності, $A\lt B$. Теорема означає, що для будь-якого $C$, такого, що $A\le C\le B$ знайдеться точка $c \in [a,\;b]$ така що $f(c)=C$ (Рис 1).

При цьому, якщо функція не є неперервною, вона може приймати не всі проміжні значення, тобто для деяких С може не існувати точки $c \in [a,\;b]$ такої що $f(c)=C$ (Рис.2).

Рис.1	Рис.2	Рис.3

Важливішим наслідком з цієї теореми виступає

Наслідок. Якщо неперервна на $[a,\;b]$ функція $y=f(x)$ приймає на його кінцях значення різних знаків, скажімо $f(a)=A\gt 0, \;\;f(b)=B \lt 0$, то в середині проміжку знайдеться точка, в якій функція обернеться в нуль (Рис.3):

$\exists c\in(a,\;b):\; f(c)=0$.

Перш ніж сформулювати останню властивість нагадаємо деякі поняття, що відносяться до функції.

Означення 2. Функція $f(x)$ називається монотонно зростаючою на $[a,\;b]$ якщо для будь-яких точок $x_1\;$ i $x_2\;$ цього відрізку, таких що $x_1\lt x_2$ виконується нерівність $f(x_1)\lt f(x_2)$. І функція зазивається монотонно спадаючою, якщо для всіх $x_1\lt x_2$ виконується $f(x_1)\gt f(x_2)$. Обидві функції називаються монотонними.

Означення 3. Нехай функція $y=f(x)$ визначена на $D$ має множину значень $E$. Функція $x=f^{-1}(y)$, що кожному $y\inE$ ставить у відповідність той $x\inD$, з якого він отриманий функцією $y=f(x)$, називається оберненою до цієї функції.

$y=f(x)\;\Rightarrow\; x=f^{-1}(y)$,

або

$f^{-1}(f(x))=x, \;\;\;f(f^{-1}(y)=y$ .

Підкреслимо, що областю визначення оберненої функціі виступає множина значень даної функції.

Теорема 3 (Неперервність оберненої функції). Нехай функція $y=f(x)$ неперервна і монотонна на $[a,\;b]$ і має множину значень у вигляді відрізку $[\alpha,\;\beta]$. Тоді на $[\alpha,\;\beta]$ визначена неперервна і монотонна обернена функція $x=f^{-1}(y)$.

Зауваження. Вимоги монотонності не можна позбутись з огляду на однозначну визначенність значення функції в кожній точці. Так фунція обернена до сінусу фунція - арксінус, може бути визначена тільки на проміжку монотонності сінусу, скажімо для $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$. І саме для цього відрізку арксінус буде і однозначно визначений, і неперервний, і монотонний, маючи область визначення $[-1,1]$.